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            2021考研數學高數重要定理:函數與極限

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              2021考研數學高數重要定理:函數與極限

              函數與極限

              1、函數的有界性在定義域內有f(x)&geK1則函數f(x)在定義域上有下界,K1為下界如果有f(x)&leK2,則有上界,K2稱為上界。函數f(x)在定義域內有界的充分要條件是在定義域內既有上界又有下界。

              2、數列的極限定理(極限的性)數列xn不能同時收斂于兩個不同的極限。

              定理(收斂數列的有界性)如果數列xn收斂,那么數列xn一定有界。

              如果數列xn無界,那么數列xn一定發散但如果數列xn有界,卻不能斷定數列xn一定收斂,例如數列1,-1,1,-1,(-1)n+1…該數列有界但是發散,所以數列有界是數列收斂的要條件而不是充分條件。

              定理(收斂數列與其子數列的關系)如果數列xn收斂于a,那么它的任一子數列也收斂于a.如果數列xn有兩個子數列收斂于不同的極限,那么數列xn是發散的,如數列1,-1,1,-1,(-1)n+1…中子數列x2k-1收斂于1,xnk收斂于-1,xn卻是發散的同時一個發散的數列的子數列也有可能是收斂的。

              3、函數的極限函數極限的定義中

              定理(極限的局部保號性)如果lim(x&rarrx0)時f(x)=A,而且A>0(或A0(或f(x)>0),反之也成立。

              函數f(x)當x&rarrx0時極限存在的充分要條件是左極限右極限各自存在并且相等,即f(x0-0)=f(x0+0),若不相等則limf(x)不存在。

              一般的說,如果lim(x&rarr&infin)f(x)=c,則直線y=c是函數y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x&rarrx0)f(x)=&infin,則直線x=x0是函數y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

              4、極限運算法則定理:有限個無窮小之和也是無窮小有界函數與無窮小的乘積是無窮小常數與無窮小的乘積是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小定理如果F1(x)&geF2(x),而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么a&geb.

              5、極限存在準則:兩個重要極限lim(x&rarr0)(sinx/x)=1lim(x&rarr&infin)(1+1/x)x=1.夾逼準則如果數列xn、yn、zn滿足下列條件:yn&lexn&lezn且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,對于函數該準則也成立。

              單調有界數列有極限。

              6、函數的連續性:設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義,如果函數f(x)當x&rarrx0時的極限存在,且等于它在點x0處的函數值f(x0),即lim(x&rarrx0)f(x)=f(x0),那么就稱函數f(x)在點x0處連續。

              不連續情形:1、在點x=x0沒有定義2、雖在x=x0有定義但lim(x&rarrx0)f(x)不存在3、雖在x=x0有定義且lim(x&rarrx0)f(x)存在,但lim(x&rarrx0)f(x)&nef(x0)時則稱函數在x0處不連續或間斷。

              如果x0是函數f(x)的間斷點,但左極限及右極限都存在,則稱x0為函數f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點,不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。

              定理有限個在某點連續的函數的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續的函數。

              定理如果函數f(x)在區間Ix上單調增加或減少且連續,那么它的反函數x=f(y)在對應的區間Iy=y|y=f(x),x&isinIx上單調增加或減少且連續。反三角函數在他們的定義域內都是連續的。

              定理(最大值最小值定理)在閉區間上連續的函數在該區間上一定有最大值和最小值。如果函數在開區間內連續或函數在閉區間上有間斷點,那么函數在該區間上就不一定有最大值和最小值。

              定理(有界性定理)在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界,即m&lef(x)&leM.定理(零點定理)設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)

              推論在閉區間上連續的函數取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。

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            本文來源:http://www.cityyr.cn/a/4054713.html
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